1985年，我以托马斯·贝叶斯 [1] 的名字命名了我所创建的概率理论。托马斯·贝叶斯本人大概从来没有想过，他在18世纪50年代推导出的公式有一天会被用来识别遇难者的身份。当时，贝叶斯关心的只是关于两个事件的概率，其中一个事件（假设）发生在另一个事件（证据）之前。虽说如此，因果论在他心中还是非常重要的。事实上，对因果解释的追求是他提出“逆概率”（inverse probability）分析背后的驱动力。
托马斯·贝叶斯（1702—1761）是一位长老会牧师，但看上去更像个数学怪才。身为英格兰教会的反对者，他不能到牛津大学或剑桥大学学习，因而在苏格兰大学接受了高等教育。我们现在猜测，他在那里很可能学到了许多数学知识。回到英格兰后，他继续探索数学领域，并组织了一个数学讨论圈子。
在他去世之后才发表的一篇文章（见图3.1）中，贝叶斯解决了一个很适合他本人来解决的问题，即数学与神学的较量。这篇文章的背景是，苏格兰哲学家大卫·休谟在1748年写了一篇题为“论神迹”的文章，其中他指出，目击者的证词永远无法证明神迹的发生。休谟所指的神迹显然是基督复活，但他很聪明，没有明确地把这件事说出来。（在这篇文章发表的20年前，神学家托马斯·伍尔斯顿就因为发表了类似言论被裁决为亵渎上帝而锒铛入狱。）休谟的主要观点是，本质上不可靠的证据是不能推翻衍生于自然法则的诸如“人死不能复生”这样的命题的。
图3.1 《哲学汇刊》1763年第LIII卷杂志扉页。这期杂志刊载了托马斯·贝叶斯有关逆概率的遗作，并在首页中发表了理查德·普莱斯的推荐信
对于贝叶斯来说，休谟的观点很自然地引发了一个问题，有人可能会称其为福尔摩斯式的问题：需要多少证据才能让我们相信，我们原本认为不可能发生的事情真的发生了？在何种情况下，某个假设才会越过绝不可能的界限抵达不大可能，甚至变为可能或确凿无疑呢？虽然这个问题是用概率语言表述的，其含义却带有明显的神学色彩。理查德·普莱斯是与贝叶斯同属一个教会的牧师。他在贝叶斯的遗物中发现了这篇文章后便送去杂志发表，并亲自写了一篇热情洋溢的推荐信，在信中他非常清楚地表明了这一点：
我的目的是要说明我们为什么要相信事物的形成自有其固定法则，从而说明我们为什么要相信这个世界的建构一定是某种具有高度智慧和力量的因导致的果，进而证实作为那个最终的因的上帝的存在。不难看出，本文所解决的逆向问题可以更直接地服务于这一目的；因为它清晰准确地告诉我们，在任何事件以某种特定的顺序发生或事件重复发生的情况下，为什么我们应该认为这种秩序或重复发生是源于某个自然稳定的因或规则，而不是源于任何偶然。
贝叶斯本人在他自己的论文中并没有讨论这一问题，是普莱斯自作主张凸显了其神学方面的意义，其目的或许是让他的朋友的论文产生更广泛的影响。但事实证明，贝叶斯并不需要这种帮助。大约250年后，他的论文被再次提起并引发了广泛争议，不是因为其神学方面的意义，而是因为它表明了我们可以从一个果推断某个因的概率。如果我们知道因，那我们很容易就能估计出果的概率，这是一个前向概率（forward probability）。而它的反面，也就是贝叶斯时代的“逆概率”推理，则难度要大得多。贝叶斯没有解释为什么它很困难，他认为这一点不言而喻，但他向我们证明了逆概率推理是可行的，并展示了如何操作。
为了解问题的本质，让我们看看他在这篇论文中提到的例子。不妨想象一下我们正在打台球，假设台球会在桌面上经多次反弹曲折行进，因此我们无法确定它会停在哪里。那么，球在距桌子左端x英尺这个范围内停下来的概率是多少？如果我们知道桌子的长度，而且桌子十分平滑，那么这就是一个非常简单的问题（见图3.2上部）。例如，在一个长12英尺的台球桌上，球在距桌边缘1英尺范围内停下来的概率是1/12。在一个长8英尺的台球桌上，这个概率就是1/8。
图3.2 托马斯·贝叶斯的台球桌示例。其中上部的示意图对应于一个前向概率问题：已知台球桌的长度，要求计算球在距桌边缘x英尺范围内停止的可能性。下部的示意图对应于一个逆概率问题：我们已经观察到球在距桌边缘x英尺范围内停止了，现在要求估计桌子长度为L的可能性（资料来源：马雅·哈雷尔绘图）
对物理学的直观理解告诉我们，一般来说，如果桌子的长度为L英尺，球在距桌边缘x英尺范围内停止的概率是x/L。一方面，桌子的长度越长，这个概率就越低，因为球可以停止的位置越来越多。另一方面，x越大，这个概率就越高，因为球的可停止区域越来越大。
现在让我们考虑一下逆概率问题。我们观察到球的最后停止位置在距桌边缘x=1英尺的范围内，但我们不知道桌子的长度L（见图3.2下部）。对此，贝叶斯牧师提出的问题是：桌子长度为100英尺的概率是多少？常识告诉我们，L更可能是50英尺，而不是100英尺，因为桌子越长，我们就越难解释为什么球会停止在离桌边这么近的位置。但这个可能性具体有多大呢？对此，直觉或常识并不能给予我们明确的指导。
为什么前向概率（已知L求x的概率）比逆概率（已知x求L的概率）更容易估算？在这个例子中，这种不对称性来自L为因x为果这一事实。若我们观察到一个因，如鲍比向窗户扔球，则大多数人可以预测到果（球可能会打破窗户）。人类的认知就是在这个方向上运作的。但若给定了果（窗户破了）要求我们推断因，则我们就需要更多的信息才能进行推断（是哪个男孩扔球打破了窗户？窗户是被球打破的吗？）。解决这个问题需要我们拥有福尔摩斯的头脑去追踪所有可能的因。贝叶斯致力于打破这种认知不对称，并提出了一种即使并非数学天才也能使用的估算逆概率的方法。
