一、三角形的角平线
三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线。
注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段。
∠1=∠2 ；AD是△ABC的角平分线.
二、三角形的中线
连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线。如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心。
例1 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
三、三角形的高
定义：三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高.
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
例2 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平 分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C) =180°－90°－40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE= 1/2 ∠BAC=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm， ∠CAB=90 °,试求：
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.
（2） ∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB
=8-6
=2(cm)
重要发现：三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.
