9.4 演绎
我们下面介绍的方法在证明论证无效上不如真值表法，但在证明论证有效方面却占有优势，该方法就是演绎（deduction）。
运用演绎方法，实际上就是通过一系列基本真值函数有效论证模式从前提推出结论。仿佛“彻底全面地思考”该论证，逐步探究，一旦假设所有前提都真，最终如何得出结论。在解释基本论证模式时，我们会具体说明演绎方法是如何运作的。这些基本论证模式将作为真值函数推理的规则，因为这些规则支配我们从前提推出结论的具体步骤。
第一组规则：有效论证的基本模式（MP）
在学习第二组规则之前你应该学会第一组规则。
规则1：分离规则（modus ponens,MP），也称肯定前件式
这种模式的任何论证都是有效的。
如果前提之一是假言判断，而另一个前提是第一个假言判断的前件，那么，根据分离规则，就可从这两个前提中推出假言判断的后件作结论。作为假言判断的构成部分的判断不必是简单字母——在P的位置上可以是更复杂的表达式，如（P∨R），只要在上述模式中P出现的任何地方都是该复合表达式，就还是上面的推理模式。如：
该推理就是：如果在你演绎的一行中有一个假言判断，而另一行是这个假言判断的前件，那就可以在新的一行中记下该假言判断的后件。
如果假言判断的后件是该论证的结论，那么，演绎推论就完成了——结论已经得出。如果它还不是你所关注的论证的结论，那么，该假言判断的后件可以作为推出你所寻找的结论的另一个前提。例如：
我们给论证的三个前提标上了数字，把结论放在旁边。（此后，我们将用一根斜线和三个点[/∴]来代替“所以”，作为结论的提示词。）注意第一行是一个假言判断，第三行是它的前件。分离规则允许我们写下第一行的后件作为我们演绎中新的一行：
这一行右边所标的是推理规则的缩写以及规则所作用的各前提。这些标注被称为演绎的注解。我们接着可以利用该演绎中新的一行来得出我们最初寻找的结论，即S。
我们再次利用了分离规则，这次是通过第二行和第四行而得出结论的。得出这个结论的解释也在右侧做了标注。
请注意分离规则的准确适用。可以对其运用分离规则的假言判断必须是独立的。如果假言判断只是某复合判断的支判断时，就不能对其运用MP规则。比如：
这就是不规范地运用MP规则。第一行判断的确有一个支判断是假言判断，第二行也的确是第一行的假言判断的前件，但分离规则不能运用到作为支判断的假言判断之上。下面的假言判断则可以运用分离规则：
规则2：否定后件式（MT）
否定后件式（modus tollens,MT）的推理模式如下：
如果一个前提是假言判断，而另一前提否定该假言判断的后件，那就可以写出假言判断的前件之否定作为演绎的结论。下面的演绎推理运用了前面两条规则：
在这个演绎中，根据MP规则，我们从第二行和第三行推出第四行，然后根据MT规则，由第四行和第一行推出第五行，而第五行就是我们所寻找的结论。第一行的假言判断的前件自身就是合取判断（P＆Q），但这并不影响我们进行演绎；第五行恰恰是第一行的假言判断的前件的否定，这才是最重要的。
规则3：连锁论证式（CA）
若前提中两个判断都是假言判断，而且一个假言判断的前件正好是另一个假言判断的后件，连锁论证（chain argument,CA）规则就允许你从这两个假言判断中推导出一个假言判断作结论。
规则4：析取论证式（DA）
一个前提是析取判断，另一个前提否定其中一个析取支，则可以推出另一个析取支。
规则5：合取分解式（SIM）
这是显而易见的，但更显而易见的是论证需要它：
如果合取判断是真的，那么合取支一定都是真的。因而以一个合取判断为前提，可以演绎地推出任意一个合取支为结论。
现实生活 如果美元贬值……
有效的论证模式事实上相当普遍。这里是《时代》杂志中的一篇文章，讲为什么弱势美元将会威胁股票市场：
为什么我们应该小心……如果美元继续贬值，可能会引导投资者把资金转向正在升值的货币。那将会导致美国市场低迷……因为外国人持有几乎40%的美国国债，任何撤资都会导致利率上涨的风险，这最终会威胁……股票市场。
这里的连锁论证相当明显。其效应为：如果美元贬值，那么投资者的资金将转向正在升值的货币。如果投资者这么做了，那么美国市场就走向低迷。如果美国市场低迷，那么美国国债的利息率就会上升。如果利息率上升了，那么……市场瘫痪。（因此，如果美元贬值，那么……市场瘫痪。）
规则6：合取合成式（CONJ）
这条规则允许你从前提中推出一个合取判断作为结论，该结论由各前提作为合取支构成。
规则7：析取附加式（ADD）
显然，无论P和Q代表什么判断，只要P是真的，P或者Q一定为真。一个析取支为真是整个析取判断为真的保证。
规则8：二难推理的构成式（CD）
以两个假言判断和它们的前件的析取作前提可以推导出一个析取判断为结论，结论的析取支分别是假言判断的后件。
规则9：二难推理的破坏式（DD）
以两个假言判断和它们后件之否定的析取作前提可以推导出一个析取判断为结论，结论的析取支分别是假言判断前件的否定。
现实生活 工作中的逻辑
现实中，在解决机动车出现的问题时往往也会涉及大量的演绎推理。例如“问题是滤油器堵了或者燃油泵坏了。我们已经更换了滤油器，问题不在那儿，所以是燃油泵坏了”。这里就运用了第一组推理规则。
第二组规则：真值函数的等值式
本组规则与第一组规则之间有如下重要区分。首先，本组规则的表达式都是真值函数的等值式。也就是说，每一条规则中都含有两个表达形式虽然不同但真值完全相同的符号形式。我们用双向箭头?来表示可以从其中任意一个推出另一个。（规则1只允许单方向的推导：从前提到结论。）我们在第一组规则中都用“式”来命名，而第二组规则用“律”来命名也揭示了这个区分。其次，本组规则中相互等值的表达式之间可以相互替换。如果在演绎中有一个合取式，而且本组规则表明其中一个合取支与某其他表达式等值，我们就可以用后者替换前者。看完例证后我们将会明白如何进行真值替换。
运用第二组规则的总原则是：相互等值的陈述之间可以相互替换。与第一组规则中一样，本组规则中，只要每条规则中相同字母所表达的判断总是相同的，P、Q等可以作为任意一个判断的符号。
规则10：双重否定律（DN）
规则10表明，无论对于简单判断还是复合判断，我们可以在任意一个判断前添加或删除两个否定符号。该规则允许我们在下述两个表达式之间相互推导：
规则10保证表达式（Q∨R）与其双重否定～（Q∨R）之间相互等值，这进而保证P→（Q∨R）与P→～（Q∨R）之间相互等值，所以这两个表达式之间相互蕴涵。下面是运用DN规则的实例：
规则11：交换律（COM）
规则11允许任意一个合取判断或析取判断的支判断“交换位置”，从而使得复合判断中的支判断出现的顺序正好相反。例如：
注意这里只在支判断中，即假言判断的后件中运用了交换规则。
规则12：蕴涵析取律（IMPL）
规则12允许依据需要将假言判断转换为相应的选言判断，反之亦然。下面的例子是规则12的运用：
规则13：假言易位律（CONTR）
在第8章中我们学习过直言判断的换质位运算，规则13是真值函数版的换质位运算。该规则允许将假言判断前后件的位置互换，但要分别在前后件的前面加上或去掉否定符号。如：
在上面的例子中，等值式的一端前后件前都有否定符号，另一端前后件前都没有否定符号，如果遇到假言判断的前件或后件中有而且只有一个带否定符号时，依然可以运用规则13，不过需要采取两个步骤，先运用双重否定规则，再进行假言易位。如：
在足够熟练时，也可以将上述两步合并为一个步骤。
规则14：德摩根定律（DEM）
注意，当否定符号从括号前移到括号内时，“＆”变成了“∨”，反之亦然。注意在德摩根定律中的否定符号的运算与代数中的负号之不同。注意当你将～（P∨Q）中的否定符号移到括号内时，所得到的不是（～P∨～Q），在运用德摩根定律时，在将否定符号移到括号内的同时，要将合取联结词与析取联结词互换。你可以把～（P∨Q）和（～P＆～Q）读为“非P且非Q”，可以将～（P＆Q）和（～P∨～Q）读为“并非P且Q”。
规则15：条件移出律（EXP）
用自然语言表达，条件移出律的意思是，“如果P，那么如果Q，那么R”等值于“如果P且Q，那么R”。
规则16：结合律（ASSOC）
结合律告诉我们，当用析取符号或合取符号联结三个变项时，对变项之间如何组合是无关紧要的。当一个析取判断的析取支多于两个时，依然是只要其中一个析取支为真，整个判断就为真；一个合取判断无论有几个合取支，要使得合取判断为真，就必须每个合取支都真。
规则17：分配律（DIST）
规则17允许我们将合取支分配到析取判断之中，或者将析取支分配到合取判断之中。下面的第一例中，等值符号的左边，P和一个析取式构成了合取式，等值式的右侧，通过将P与每个析取支构成一个合取判断而将P分配到析取判断中。像德摩根定律一样，分配律也有两个版本，可以采用同样的方式将析取支分配到合取判断之中，如下述第二例。
规则18：重言式（TAUT）
本规则允许为“说明”演绎而必需的一些步骤。
下面的两个例子是对第一组规则和第二组规则的综合运用，请逐行仔细阅读它们。建议你用一张纸遮住你尚未阅读的各行，试试看在不依赖书上的答案情形下你自己会如何思考，并要确保在往下阅读前完全明白每一行是如何由前面得出的。必要时请查阅所使用的规则以确保真正理解。
第一个例子较长但也较简单，长度和难度并不总是成正比。
第一组规则
第二组规则
初遇演绎推理时，往往不知道如何着手进行推理。一个策略是从结论入手。看看需要得到什么结论，再看看已有的前提，从而确定并得出可以从已有的前提过渡到结论的判断。下例将解释这一点。
先看要得到的结论是～P。如果我们熟悉假言推理否定后件式的规则，依据第一行，如果得到对其后件的否定，即～（Q＆R），就可以得到所要的结论～P。～（Q＆R）与～Q∨～R相同，只要得到～Q或者～R中的任何一个，就可以得出～Q V～R。而依据第二行和第三行，通过假言推理的肯定前件式，就可以得出～Q。稍作训练，你就会发现在大多数情形下这个策略的运用都是简单易行的。
条件证明（CP）
条件证明（conditional proof,CP）既是一条规则，也是构建演绎推论的策略。它建立在下面的观念基础上：如果我们要构建关于假言判断P→Q的演绎推论，我们证明的是什么呢？我们证明的是“如果P为真，那么Q也为真”。实现这个目标的方法之一就是假设P为真（也就是说加上P作为附加的前提），然后证明在这个假设基础上Q也必定为真。如果我们能做到这一点——在假设P之后证明了Q，那么，我们也就证明了如果P那么Q，或者是P→Q。让我们先通过例子看如何进行这种证明；然后再作解释。
使用CP作为新规则的方法是：在给定的前提之后，直接记下我们想要证明的假言判断的前件，并给推理串的这个步骤的编码画上圈；在该行的注释中，标明“CP前提”。下面就是范例：
在证明了所需要的假言判断的后件之后，接着写下整个假言判断。然后，在推理串左边的空白处画上一条线，把画圈的前提和我们由此推出后件的那一行连接起来（看下面的例子）。在推出整个假言判断的最后一行的注释中，列出从划圈的行到假言判断后件的那一行并标出CP规则。在推理串左侧空白处用连接线把先前的CP前提与从中推导出后件的那个步骤连接起来，意味着我们不再把假设作为前提，自此，该假设已经是最后一行中的假言判断的前件了。这就是所谓的消除假设前提。下面就是整个过程：
结合上例，我们继续对条件证明作如下解释。让我们把要证明的结论设想为：根据两个已有的前提，如果再有～P，就能得到R。证明它的方法之一就是假定有～P，然后看能否得出R。在推理串的第三行里，我们做的正是：设定～P。给这一行画圈的意思是，指出这是我们设定的前提（我们的“CP前提”），因此它是我们完成证明之前必须要消除掉的前提。（我们不能发明、运用和保留任何自己喜欢的前提——如果那样的话，我们就能证明一切。）一旦我们设定了～P作为前提，得出R就容易了！第4步和第5步都是显而易见的（如果不是，说明你需要熟练推理规则）。在从第3步到第5步的过程中，我们已经确实证明了如果有了～P，就能得出R。所以记下第6步就是合理的，因为第6步所表达的正是：如果～P，那么R。
一旦我们得出了假言判断～P→R，就不再依赖CP前提，所以我们在推理串左边空白处从CP前提到由之推出的最后一步画上连接线，表明消除了这个设定的前提。
下面是运用CP规则的一些重要规定：
1.CP只能用于推出假言判断：在消去CP前提以后，接下来的一步必须是假言判断，它以其在先的步骤为后件，以CP前提为前件。（注意：许多判断和假言判断都是等值的。比如，要得到（～P V Q），只要先证明（P→Q），然后运用蕴涵析取律IMPL。）
2.如果在一次推理中不止一次运用CP规则——也就是说，如果引入不止一个CP前提，它们必须以与引入假设相反的顺序依次消去。这意味着从不同的CP前提处引出的消除假设前提的线必须不能互相交叉。看下面的例子。
3.一旦一个CP前提被消去了，从该前提推导出的任何步骤——那些步骤被左边空白处画的线包围起来——都不能再用于该演绎推理。（它们依赖于CP前提，而且，它已经被消去了。）
4.所有的CP前提都必须被消去。
听起来CP规则运用的规定有些复杂，但实际运用时并非如此。看完下面的例子，回头参考这些运用CP的规定，就会直观一些。
下面运用CP的例子中，有两个附加的前提是假设的，并且以相反的顺序被消去。
注意，在第5步加上的附加前提在第8步完成的时候消去了，而第10步完成的时候第3步的前提消去了。再一次注意：无论何时消去假设前提，你必须让这个判断成为演绎推理中下一步中假言判断的前件。（你若尝试不使用CP来完成前面的演绎；就会庆幸可以运用这个规则，虽然看上去掌握这条规则有些困难，但使用CP让许多演绎推论得以简化。）
再看一些运用规则CP的实例：
下例中先后运用了两次CP规则：
下例中，一个CP出现在另一个CP的“内部”：
在结束本章之前，应该指出，真值函数逻辑体系具有重要理论意义的两个特征：可靠性和完全性。一个逻辑系统是可靠的（对我们这里的目的而言这是最重要的），就是指按照该系统的规则构造的每一个演绎推理都是有效的论证。换句话说，就是没有一个或一系列演绎推理会让我们从真的句子开始，却以假的句子结束。
说一个体系是完全的，是指对于任何一个（或者可能的）有效的论证而言，都可以通过该系统的规则，从论证的前提演绎出论证的结论。也就是说，如果结论C的确可以从前提P和Q中有效地推出，那么一定可以构建这样的演绎推理，该推理从P和Q开始，以C结束。
还可以构建其他既可靠又完全的系统，而且系统的规则比我们所介绍的系统可以少得多。然而，在那样的系统中，建构推理却往往很难。尽管我们介绍的系统中有相当多的规则，但你一旦掌握了它们，构建证明就不太困难。所以在一定程度上，每一个逻辑系统都基于一种权衡。你可以采用小巧而精致的系统，但它们难以运用；或者你可以采用庞大而不那么精致的系统，但实际运用起来更有效率。（就某些目的而言，较小的系统往往更有效率，但本书的目的与之不同。）
总结
□真值符号，各真值符号的真值表，以及与真值符号相对应的自然语言联结词“并非”“并且”“或者”以及“如果……那么”。
□真值函数的符号形式也可以表达电子集成线路，因为句子的“真”和“假”可以对应于线路的“开”和“关”。
□可以通过四个真值函数符号和代表判断的字母来刻画自然语言句子的符号形式，需要注意的是要准确地刻画。
□通过真值表法和简化真值表法可以确定一个给定的真值函数论证是否有效。
□有效论证的基本模式和真值函数的等值式有助于判定有效的论证。
□通过建构演绎推理可以证明真值函数论证的有效性，所运用的规则包括有效论证的基本模式、真值函数的等值式以及条件证明规则。
