用文恩图检验三段论的有效性

用文恩图检验三段论的有效性

用文恩图表示三段论，需要用三个相互交叉的圆圈，每个圆圈都代表论证中的一个词项类。为了更有系统性，在图中，我们把小项放在左边，大项放在右边，中项放在中间略低一些的位置。我们将一步一步地用图表示下面的三段论。

□我们不知道如何从逻辑上证明谁是对的，但我们喜欢这个主意。

没有共和党人是集体主义者。

所有的社会主义者都是集体主义者。

因此，没有社会主义者是共和党人。

在这个例子中，“社会主义者”是小项，“共和党人”是大项，“集体主义者”是中项。请看图8-7，当中有三个圆圈，分别标明了它们所代表的词项类。

图　8-7　未标明前提

就像之前用图来表示AEIO判断一样，我们用图来表示正在讨论的论证的前提。首先标出：没有共和党人是集体主义者（见图8-8）。注意在这张图中要将共和党人和集体主义者交叉的全部区域涂上阴影。其次标出所有的社会主义者都是集体主义者（见图8-9）。标出这个前提的结果是：社会主义者和共和党人交叠的全部区域都是阴影。而这和用图标出三段论的结论的结果相同。由此可以得出：这个三段论是有效的。一般地说，一个三段论是有效的，当且仅当用图标出前提能自动生成一个正确的描述结论的图表（稍后我们将指出一种例外）。

图　8-8　标明一个前提

图　8-9　标明两个前提

当三段论的一个前提是I判断或O判断时，把特定的X放在哪里就可能成为问题。下面的例子表现的就是这样的问题（见图8-10）。

图　8-10

请注意在图中我们已经给不同的区域编了号，以便更容易指认。

（横线把前提和结论区分开来。）

在图8-10中，区域1或2中的一个X就使得判断“有的S是非M”为真，因为在这两个区域中任意一个对象都是S而不是M。我们怎样才能确定到底哪个区域（区域1还是区域2）应该有X呢？在一些例子中，我们可以这样做：当一个前提是A或E判断，另一个前提是I或O判断时，就先用图把A或E前提表示出来。（在标出X之前，先要涂出阴影区域。）参考图8-11来看看在本例中遵循此规则画图。

图　8-11

一旦用图标出A前提，就不必担忧X该标在何处——它必须在区域1里。因此，这个论证的完整图表就如图8-12所示。从这个图表中，我们能看出结论“有的S不是P”，这就告诉我们这个论证是有效的。

图　8-12

在一些三段论中，上面提到的规则并没有帮助。比如：

对于这样的三段论，我们即使用图表示了A前提后（见图8-13），仍然拿不准在哪里标出X：应该把X标在区域4还是区域5呢？解决这个问题时，可以遵循如下规则：如果一个X可能处于两个区域中的任意一个，就把它标在两个区域的分界线上，就像图8-14那样。

图　8-13

图　8-14

实际上，把X标在一条线上，表明X可以属于两个区域中的任意一个，或者同时属于两个区域，但是不能确定到底是哪个区域。在看这个文恩图可否得出结论的时候，就要看可否完全确定X落在特定的区域内。本例中，就要看可否完全确定X落在S和P交叉的区域里；由于不能这样确定X，所以本论证是无效的。X所处的区域不能确定，就表示不能有效地推出结论。

请注意：在文恩图解中，当三段论的两个前提都是A或E判断，而结论是I或O判断时，前提的图解可能得不出结论的图解（因为标注A和E判断需要涂上阴影，而I和O判断需要在图表中标注X）。遇到这种情形时，请记住我们的假设：每一个词项类中都至少有一个成员。这个假设就需要我们观察图表，圆圈中是否尚存没涂上阴影的部分。如果某圆圈中只有一个区域没涂上阴影，那么X就应该标在该区域内。因为该类别中的所有成员都必须落在剩下的区域中。有时候，用这种方法标出X，就能够让我们读出结论，说明论证是有效的（假设相关的类不是空的）；有时候，无论是否假设词项类为非空，按这种方法标出X都读不出准确的结论，说明论证是无效的。