一个疯狂的“游泳池/台球桌”类比产生了光量子
19世纪快要结束的时候，物理学中有一个最令人费解的问题，就是著名的“黑体谱”。谱是一种图，显示一系列波中每一不同波长所带能量占总能量的比例。而一个黑体可以理解为一个空腔，腔壁被控制在某一特定温度，腔内充满电磁波，电磁波碰撞到腔壁并反弹回来，在腔内的真空空间四处往复穿梭，就像波纹往复于游泳池表面。电磁波的最熟悉的表现形式是可见光，包括彩虹的全部颜色。但是电磁波的概念也包括紫外线、红外线、X射线、伽马射线、微波、无线电波等。所以，黑体的本质在于许多波长的电磁波的共存，这些电磁波无休止地从空腔壁反弹回来，就像水波纹从游泳池壁反弹回来一样。
事实上，黑体和游泳池之间的这个类比很有用处。如果你将一个物体，例如，一枚婚戒、一个保龄球、一架钢琴，抛入游泳池，溅起的水会形成波长各异的圆形水波，而且水波会从池壁反弹回来。大体来说，物体越轻，水波越小（幅度或高度，以及波长，二者都小）。物理学家很可能会问：“如果知道抛入水中物体的质量，它产生的水波的主导波长是多少？”以此类推，更复杂一些的问题是：“如果知道抛入物的质量和某一特定波长，该波长的水波溅起的水的总能量是多少？”很容易想到，对于每一个抛入物，池中都会有一个占主导地位的特定波长，而且抛入物几乎不可能激起比之长得多或短得多的波长。一个显示不同波长的能量分布的图示，就构成池面水波的谱。
黑体亦然，只是黑体辐射没有明显的载体，不能像池子里的水那样，在其中上下前后摆动。电磁波在其中穿梭往复的真空没有介质，无论是固体、液体或气体。“真空”一词的定义已经表明了这一点。这些电磁波是像幽灵般的实体，它们由电磁场组成，在时空中振荡，可以使带电粒子移动。在这一点上，电磁波与波动的引力场非常相似；它弥漫于空间之中，它在空间任一点的值的改变取决于某一个“波动方程”，或一组相互交织的方程，具体说是发现于19世纪60年代早期的麦克斯韦方程。
在我们的类比中，黑体的温度与抛入池中物体的大小相对应。抛入物在池水水面产生波纹。黑体壁的温度越高，黑体腔内的电磁能越大，而且，与预期相反，电磁波的主导波长也越短。这似乎是反直觉的，因为它与我们根据游泳池类比所做的猜测相矛盾。毕竟，往水池里抛入一个大沙发会产生波长很长的水波，而一块小石子造成的水波的波长很短。但是，不必担心与水波情况的冲突。当时的物理学家对黑体辐射的这些现象了如指掌。他们通过许多次仔细的实验，也熟知黑体谱的图所显示的钟形曲线。他们只是对图的形状没有一致的解释。
不可否认，在1900年，德国物理学家马克斯·普朗克已经发现了一个漂亮的数学公式。在特定温度下，这个公式可以准确地复现黑体谱通过实验得出的图。但在最初，他没能为这个公式找到理由，好像那就是一只他从帽子里变出来的兔子。然后，经过几个月的执着努力，他指出，我们可以从关于腔壁里的原子的假设推导出他的公式。这个假设很奇怪，而且似乎具有很强的任意性：也就是说，这些原子的振动能只局限于某些特定值，由一个新的自然常数来决定。普朗克将这个常数命名为“h”。后来人们称之为“普朗克常数”。一个原子，不再能够按照所有物理学家所期待的那样以任意的能量振动，其能量只能是一个极小的能量的准确倍数。普朗克把这个极小的能量称为“量子”。能量由这么小的量一份一份组成的想法让物理学家，甚至普朗克本人，都感到非常怪诞。然而，人们普遍承认建立在这个想法上的普朗克公式与实验结果完全吻合。
对于宏观生物如人类来说，壁上的原子不能承载任意量的振动能，这样一个事实根本不会被注意到，因为h的量值微乎其微。事实上，假如h等于零，那么所有可能的能量将都会被允许，因而量子限制也不再成立。然而，依据h等于零的假设计算得出的图完全不像在实验中得到的真实的黑体谱。相反，普朗克用他的微小但不为零的常数计算所得的理论图完全精确地与那个神秘的黑体谱相吻合。这些发现当然存在有希望的前景，但是，对于当时的大部分物理学家来说，普朗克关于腔壁内原子的“激发量子”的理论显得过于任意。由于这个原因，几乎没有人对这一理论持严肃态度。甚至普朗克本人也不太有把握。虽然他把自己带到了量子池塘边，但是他也不愿饮用池塘里的水。
这个发展的间隔为另一位天才的卷入提供了一个难得的好机会。这位天才是一位瑞士专利局的年轻职员，是的，他正是爱因斯坦。爱因斯坦伟大的神来之笔在于他发现了黑体和另一个系统之间的关键对应。这个系统也包括一个由总体温度决定的谱。具体地说，我们在暗示困在容器内的理想气体。为什么爱因斯坦作了这个类比，而没有其他人，或者说几乎没有其他人想到呢？为什么他对这个类比深信不疑呢？之后会提出我们的猜测。
有趣的是，直到爱因斯坦的“奇迹之年”，还没有找到完全令人信服的证据证明原子的存在，无论是在固体、液体，还是气体之中。当然，有几位有勇气的科学家，例如奥地利的路德维希·玻尔兹曼和苏格兰的麦克斯韦，已经推测所有气体都是由无数个小粒子组成的。这些小粒子不停地相互碰撞，并且从包裹它们的壁上弹回。基于这个“理想气体”假设，他们成功地推导出了一些公式。这些公式以相当高的准确度与实际观察到的真实气体的行为相吻合。尽管这是一个支持原子假说的强有力的证据，但是许多物理学家、化学家和哲学家仍然对此持怀疑态度。
这里，再举一个有说服力的类比帮助我们解释。这次，是在理想气体和一个无摩擦的台球桌之间。想象台球桌上有数百个小球被一股强力推动开始滚动（这股强力可以是开球时的撞击），并且开始猛烈撞击台球桌壁被弹回或者互相碰撞。如果有人能够告诉我们起始撞击的能量，一旦桌面上呈现一种稳定状态，便可以估算出桌上滚动的小球的主导速度，即最常见的速度。更进一步，我们还可以问这些小球的速度分布是什么。这类问题竟然有准确的答案，这似乎令人吃惊。但实际上是真有。从类比的角度，有一个准确的公式，即“麦克斯韦-玻尔兹曼分布”，已知该气体的温度，设定任何动能的值，它能给出具有该能量的气体分子的百分比。这一曲线的峰值的位置显示该气体分子的主导动能。
爱因斯坦有一种预感，他感觉这两种系统，黑体和理想气体，有深层联系，尽管它们表面上不同。这两种系统都有一个充满能量的容器。除此之外，还有什么能使人相信它们有深层联系呢？把这个问题搬回更熟悉的环境，回到那两个相似的实物：游泳池和台球桌。这样，问题变成了在溅起水花的游泳池内的水波面和台球桌上被突然一击而四散碰撞的几百个小球之间是否存在深层联系。这两种情形都充满无规则运动而且运动都发生在一个水平面上。然而，这些非常肤浅的事实很难叠加在一起形成足够强烈的理由，使人相信它们之间存在一种深层的联系。
所以，对于当时大部分物理学家来说，爱因斯坦关于理想气体（比作沸腾的台球桌）和黑体（比作泳池浮动的水面）之间的类比看上去完全没有道理。那么，为什么爱因斯坦的看法不同？首先，正如他1905年的第一篇文章所述，他注意到了一个有趣的数学上的相似之处，把给出能量分布的两个公式连接在了一起。关于黑体谱，爱因斯坦用了德国物理学家威廉·维恩（Wilhelm Wien）发现的一个公式，这个公式早于普朗克发现的更精确的公式。关于理想气体谱，他用的是麦克斯韦和玻尔兹曼的公式。这个相似之处启发了他，使他相信这两个系统的在物理学上的相似之处或许远远超越其表面。在此，只能说，爱因斯坦具有鹰一样敏锐的目光。在物理学问题上，他似乎总能点到问题的关键所在。
有一点很精彩：威廉·维恩于19世纪90年代中期在寻找黑体谱的公式时产生了一个优秀的直觉。他试图利用一个他“嗅出”的类比将黑体谱与麦克斯韦和玻尔兹曼的理想气体谱连接起来。他的直觉和10年后爱因斯坦的直觉紧密相关。所以，在爱因斯坦同时考察这两个公式时，重新发现了维恩的类比，这不是一件巧合的事。然而，对于维恩来说，这两个系统之间的类比纯粹是形式上的。他没能从他的类比中得到启发，看出其中更深层的物理学的联系。因此，他没能像爱因斯坦那样对这个问题穷追不舍，深入进去。
爱因斯坦对自己的理想气体和黑体之间的物理学类比，而不仅仅是这两个谱之间的数学公式的类比，充满信心，这里面还有另一个因素。几个月前，他刚刚找到而且深入探讨了另外一个类比，一个在理想气体和另一种物理系统之间的类比，即包含胶体粒子的液体。通过显微镜可以观察到，在这种液体中胶体粒子在不停地、表面看毫无规律地跳动穿行。这个类比使他可以令人信服地证明极其微小、不可见的分子的存在。这些分子在不停地撞击比它们自身大得多的胶体粒子，就像无数小飞虫在灯下乱飞乱撞一样，从而使胶体粒子产生神秘的跳跃，这就是“布朗运动”。这或许说明，有两股不同的力量作用于爱因斯坦的大脑，即公式的数学相似性和近期的布朗运动的类比，使他坚信黑体和理想气体之间的类比。
总之，以爱因斯坦最新的类比为基点，爱因斯坦作了一系列运算。所有运算都根据热力学的方法，因为他认为热力学是物理学中最深刻、最可靠的一个分支。首先，他计算了两个系统的熵，然后，他把得出的两个熵的公式变换得看上去几乎一模一样。事实上，经过爱因斯坦的巧妙操作，这两个公式最终变得完全相同，除了一个简单指数的代数形式之外。这个很有启发性的操作表明这两个系统的联系要远比威廉·维恩所意识到的深刻得多。
在理想气体熵公式的关键部位出现了字母N，代表气体中分子的数量。在黑体熵公式的“相同”位置出现的是表达式E/hυ，字母h代表普朗克常数，希腊字母υ代表电磁波的频率，与其波长总是成反比。就这样，爱因斯坦将两个迥异的物理系统的所有差异压缩到一个细微但显著的对比之中：一个是整数N，另一个是简单的表达式E/hυ。
但是，这一精准定位的差异有什么含义呢？E/hυ代表将总能量E（一个尔格的大数。尔格是一个标准的能量单位）分割成许多极其微小的能量单位，其能量为hυ（一个尔格的很小很小的一部分），这个比例显示多少微小的单位组成了一个较大的单位。由于能量单位被消去（尔格同时出现在分子和分母中），只剩下一个“纯”数，其数值独立于所用的单位。爱因斯坦的类比此时起了一个关键作用，它告诉我们在黑体系统里的值和理想气体中的分子数量N的值彼此相扣。将E分割成等份，每一份为hυ（E的一个“衡量单位”，此处与第7章使用的用来表示除法的朴素类比的术语相呼应），这对于爱因斯坦来说是一个明白无误的线索，暗示腔内的辐射，与气体类似，是由离散粒子构成的。在任何一个特定波长，全部“光点”都携带相同的微小的能量负载。
即使对于发现者本人来说，这一思想都是振聋发聩的，因为对他以及同时代的所有物理学家来说，电磁辐射等同于光，而且爱因斯坦知道，他的所有同事也知道，100年前的那场光的微粒说和光的波动说之间的激烈辩论最终以波动说彻底获胜而告终。此外，自那场辩论以后，特别是有了麦克斯韦的基本方程以后，物理学的许多发现一次又一次地巩固了光作为连续波而不是离散粒子的观点。光是微粒的观点怎么能在被埋葬一百年之后还能还魂呢？然而，借助于一个非常简单的类比，奇迹却实实在在地出现了。
爱因斯坦意识到，他别无他法，只有接受他的类比清楚地提示给他的形象。他得出了这个与已经建立起来的极为坚固的事实背道而驰的令人震惊的假说：黑体腔里的电磁辐射是由微粒组成的，即微小的能量包，类似于理想气体里的N个分子（为了说明爱因斯坦的思想是多么超前，我们要强调在那个时代的物理学中，仍有一些持怀疑态度的顽固分子质疑原子和分子的存在！）这些神秘的“辐射块”的每一个都必须拥有完全一样的能量hυ。而这个能量hυ必须是与频率υ相关的最小能量。爱因斯坦称之为“光量子”。这些粒子在今天被叫作“光子”。
