思维模拟占主动地位
下面这两道应用题都很容易：
保罗有27个玻璃球。课间休息时，他赢了一些。现在他有31个。问他赢了几个？
保罗在课间休息时，把他的31个玻璃球输掉了27个。问他现在还剩几个？
这两个问题都可以用同样的运算解决，即31-27。乍一看，解题的思维过程也是一样的。但是把解题的形式运算放在一边，而专注于想象中的形象化过程，就是说，让我们试图在大脑中模拟解题的思维过程。思维发生了什么？
在第一种情境中，通过掰着手指头数一数，或者心算一下，就可以模仿大脑里发生了什么。保罗的玻璃球数从27个开始往上数，到28（“1”），然后到29（“2”），然后到30（“3”），最后到达31（“4”）。答案用了简单的4步。
然而，第二种情境则大不一样。这一次从31开始，必须倒数27步。先数到30（“1”），然后到29（“2”），然后到28（“3”），然后到27（“4”），然后到26（“5”）……经过很长时间之后，才终于到达4（“27”）。
可以看到，这两种应用题虽然可以用同样的形式运算得到答案（31-27），但是却使用了完全不同的想象或思维模拟的步骤。一种过程只用了简单的4步，而另一种需要27步，而且更糟糕的是，还是倒着数的27步。
这一对比可以想到前面讨论过的类似的情境，就是那些在街上叫卖的十几岁的巴西男孩。50和3的乘积，根据应用题的提问方式不同，可以在大脑里模拟为50+50+50，或者3+3+3+3+3+…+3+3。同样，这里的减法“31-27”也对应于两种完全不同的思维模拟，一个很短，一个很长。现在，比较一下下面这四个应用题：
1．如果将200张一摞的照片分成50张一摞，一共会有多少摞？
2．如果将200张一摞的照片分成50摞，每一摞有多少张照片？
3．如果将200张一摞的照片分成4摞，每一摞有多少张照片？
4．如果将200张一摞的照片分成4张一摞，一共会有多少摞？
前两个问题可以用除法“200/50”求得答案。后两个问题可以用除法“200/4”求得答案。两种运算都很明显。但是有些问题会不会比其他的更容易或者更难？我们不是在问除法“200/50”和除法“200/4”相比更容易还是更难。如果是这样，前两个问题会比后两个问题更容易（或更难）。但是事情并不如此简单。这在思维模拟中会显示出来。
先看第一个问题：如果将200张一摞的照片分成50张一摞，一共会有多少摞？先想象高高的一摞200张照片。现在要把它分成小摞，每一摞50张照片。为了通过模拟求得答案（而不是通过形式减法运算），拿50张与自身相加，直到得到200。50加50是100，然后再加50是150，最后再加50得到200。一共4个50张。这就是答案。
现在，来看第二个问题：如果将200张一摞的照片分成50摞，每一摞有多少张照片？从形式运算上讲，这个问题也涉及除法“200/50”。有一摞200张照片需要分成50小摞。必须将某个数加50次，但不知道是哪个数。事实上，为了求得答案，不但要做50次加法，而且要反复做几次，一边做一边猜测要用哪个数与自身相加！2+2+2 ……费了半天劲，得到100，这才发现“2”不对。3+3+3 ……又一次费了半天力才发现答案不对。4+4+4……这次，如果加对了，将得到200。解决这个问题可不是一碟小菜。
所以，虽然前两个问题都可以用同样的除法运算（200/50）求得答案，但是，从大脑思维过程的角度看，第一个问题比第二个问题容易得多。
现在，来看一看第三个问题：如果将200张一摞的照片分成4摞，每一摞有多少张照片？这里，把一大摞照片分成4小摞，每一摞里有多少张照片？这与第二个问题的情境非常相似。需要反复做加法直到200。但是这一次，只需要将那个未知数加4次就可以了。另一方面，必须猜测这个未知数是多少。但是，如果足够聪明，可以不费力气就能猜到“50”。例如，如果还记得在日常生活中50+50=100，那么，可以很快得出50+50+50+50=200。这道题就这样迎刃而解。
最后，第四个问题：如果将200张一摞的照片分成4张一摞，一共会有多少摞？我们知道要进行加数为4的反复加法，但问题是：加多少次？我们知道4+4+4+…4+4+4=200，但是在这个总数中，这个未知数是多少个“4”。这很难，因为在头脑里要跟踪两件事，第一件事是要记住已经加了多少次“4”了。第二，要知道还剩多少。看得出来，模拟第三种情境比模拟第四种情境要容易得多。
总结一下上面的讨论，发现第一题和第三题都比较容易模拟，而第二题和第四题却相当有挑战性。如果回忆一下前面作为均分的除法和作为衡量的除法，我们发现这些问题中，有两个问题容易模拟。一个是简单的均分问题，即第三题，将200张照片分成4份；另一个是简单的衡量问题，即第一题，200张一摞的照片用50张一摞的大尺寸衡量。另外两个问题非常难以模拟。一个是困难的均分问题，即第二题，200张照片分成50份；另一个是困难的衡量问题，即第四题，200张一摞照片用一个4张一摞的小尺寸衡量。
现在换一种方式重述一遍。与除法“200/4”相关的第一个问题容易模拟，即第三题，200张照片分成4份；而另一个与除法“200/4”相关的问题却非常难模拟，即第四题，以4张照片一摞为尺度衡量200张一摞照片。同样，与除法“200/50”相关的第一个问题容易模拟，即第一题，用50张一摞为尺度衡量200张照片；而另一个与除法“200/50”相关的问题却非常难模拟，即第二题，把200张照片分成50份。
简单总结一下上面讨论的四道应用题。它们在形式上都非常接近，每道题都是关于将一摞照片分成小摞，但是对它们的思维过程却大相径庭，有的是均分，有的是衡量，而且求解难易程度也大不一样：
1．如果将200张一摞的照片分成50张一摞，一共会有多少摞？
【200/50，简单衡量问题】
2．如果将200张一摞的照片分成50摞，每一摞有多少张照片？
【200/50，困难均分问题】
3．如果将200张一摞的照片分成4摞，每一摞有多少张照片？
【200/4，简单均分问题】
4．如果将200张一摞的照片分成4张一摞，一共会有多少摞？
【200/4，困难衡量问题】
假设当受试者解题时，他们先把解题步骤在脑子里模拟一遍，而不是直奔算术公式。果真如此，那么第一道和第三道题都应该比较容易，而第二道和第四道题则相对较难。此外，即使知道该使用哪个算式（200/4或200/50），他们也无法知道该题是否容易。
这样对待应用题与传统观念大相径庭。传统观念以求解所需的正规算术运算为标准来判断应用题的难易程度。新的视角突出本能的方式，即类比的方式。类比有助于人们用直截了当的方式解题，也就是通过在心里数数的方式。这种视角显示为什么不同的应用题，尽管都貌似平铺直叙，并涉及同样的形式数学运算，但是它们的难易程度却有天壤之别。在前面描述的巴西街头叫卖的男孩在处理乘法问题时表现出来的那些出人意外的情境，现在看来其实广泛适用于不同类型的应用题，也可以应用于其他人群。关键的变量应该是在解题过程中表现出来的思维模拟的难易程度。
发展心理学家雷米·布里西奥（Rémi Brissiaud）把上述观点开创性地用在了算术学习领域。他出版的数学课本受到了这些发现的启发，十分有创意，而且教学成果斐然。我们与他合作，研究刚开始学习基本算术运算的七岁儿童是如何理解各种不同的应用题的。研究结果显示，趋向使用思维模拟解决的应用题与趋向使用形式算术运算解决的应用题之间存在显著的差别。在思维模拟不太复杂的情境下，人们总是采用思维模拟解题。这一原则可以用下面的例子来说明：
保罗有10盒饼干，每盒里面有4块饼干。他一共有多少块饼干？
保罗有4盒饼干，每盒里面有10块饼干。他一共有多少块饼干？
第一道题，如果用模拟解题，而不用乘法运算，需要把4自加10次。在这种情况下，或许可以想象保罗在超市把饼干一盒一盒地从货架上拿下来放进购物车中。整个流程或许是这样的：“第一盒（4块饼干）、第二盒（8块饼干）、第三盒（12）……第九盒（36）、第十盒（40）。”这个过程需要同时数着多少盒并记着拿了多少块饼干。对于刚开始学加法的孩子来说，把4反复加这么多次远非易事。在这种情况下，思维模拟非常困难。与此相对照，第二道题却可以轻而易举地用思维模拟来解决。它只需要加4次，而且，这些加法都很容易。事实上，在加的过程中，每一个都与前面的计数相呼应，像这样：“第一盒（10块饼干）、第二盒（20）、第三盒（30），第四盒（40）。”
实验表明，孩子们在解应用题时，如果思维模拟能够召之即来，他们便可以解得很顺利，反之则比较困难。他们不但在学会相关的形式算术运算之前会这样（这不足奇！），而且在学会之后也是如此（这却出乎意料）。我们观察到，甚至在学会算术运算两年之后，如果思维模拟能提供一个解题的捷径，它还是比用形式计算解决快得多。
在算术运算的难易程度方面，我们的发现与一些公认的观点相悖。例如，人们通常认为减法运算比除法更容易。因此，减法通常在大约6岁时教授，而除法还要推迟一到二年之后。然而，实验显示，掌握了减法却从未听说过除法的孩子能够设法解决某些除法问题，即那些可以通过思维模拟解决的问题，甚至比他们解决某些思维模拟不够充分的减法问题还要顺手。这里有一个例子可以说明：
吉尔把40块饼干分给了她的4个孩子。每个孩子得到多少块饼干？
这个除法题很容易就被处于上述阶段的孩子解决了。对他们来说，这比下面这道减法题要容易得多：
保尔有31个玻璃球。他给了朋友彼得27个。他还剩多少个？
这个区别不是因为40容易分成10+10+10+10，因为如果把问题换成：“吉尔有40块饼干。她想把它们装在小袋子里。每袋装4块。她要装多少袋？”这个问题会比上面的40块饼干分给4个孩子的问题要难得多，尽管这两道题的答案是一样的（答案是10）。
实验发现表明，只要可能，孩子们总会选择使用现实场景的类比来解题，而不会通过形式算术运算。如果可以设想出来能绕过形式计算的应用题，那么思维模拟就是孩子们倾向于走的路径。只有无路可选时，也就是说，在思维模拟不足的情况下，孩子们才会使用形式计算：或者由于需要太多步骤，例如把4加10次；或者由于需要使用的算术超出了孩子所学的范围，例如“4+16=20”。
