12. 自相似性和神奇数字“4” 的由来
循环系统等大多数生物网络都展示出了作为分形的几何学特性。你或许熟悉这一观点。
简单来说，分形就是在所有比例或所有放大倍数下看起来都极为相似的物体。一个经典的例子是图3–10所示的西蓝花头部。分形在自然界中普遍存在，从肺部、生态系统到城市、公司、云和河流，无处不在。我想在这一节阐释它们是什么，它们意味着什么，它们如何与幂律规模法则相关，以及它们如何在我们前文讨论过的循环系统中体现出来。
如果把西蓝花分为几个小块，每一个小块看上去都像按比例缩小的原版西蓝花。如果再将小块放大到整体的比例，每一小块都与之前原来的那块难以分辨。如果把这些小块再分为更小的块，它们同样看上去就像按比例缩小的原版西蓝花。你可以想象，多次重复这一过程，得到的结果基本上是相同的，每一个次单元都与按比例缩小后的原版整体相像。换句话说，如果你为每一块西蓝花拍照，无论它们的尺寸大小，将它们的尺寸放大到原版头部大小，你都很难分辨出放大后的版本与原版的差别。
图3–10 分形和比例恒定性的例子
在所有例子中，都不能直接分辨出绝对比例。A和B：两张不同分辨率下的西蓝花照片，显示了它的自相似性。C：加利福尼亚一条干涸的河床。很明显与冬天的树木、干枯的树叶及我们的循环系统相类似。D：大峡谷。它就像在大风暴后通往我家的受到侵蚀的泥泞道路。
这与我们通常所见形成了鲜明的对比。例如，我们用显微镜放大观察一个物体，利用越来越高的分辨率找出更详细的细节及其与整体在本质上不同的新结构。组织内的细胞、物质内的分子或原子内的质子便是显而易见的例子。另外，如果该物体是分形的，当分辨率提高时，不会出现新的图案或细节：相同的图案会一遍又一遍地自我重复。这当然是一个理想化的描述，在现实中，不同分辨率层次上的图案都会有细微的差别，最终递归重复停止，新的结构设计图案会出现。如果你持续将西蓝花分为越来越小的块，它们终将会失去西蓝花的几何特征，并最终展示出它们的组织、细胞、分子的结构。
这一重复现象被称作自相似性，是分形的一般特征。与西蓝花所展示出的重复缩放相类似的是平行镜的无限反射或俄罗斯套娃，每一个套娃的尺寸有规律地缩小。在创立这个概念之前，《格列佛游记》（ Gulliver’ sTravels ）的作者、爱尔兰讽刺作家乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift）曾富有诗意地在这首异想天开的四行诗中阐释过自相似性：
博物学家告诉我们，
跳蚤身上有小跳蚤叮咬；
这些小跳蚤又被更小的跳蚤叮咬；
如此这般，没完没了。
这就是我们一直在谈论的分级网络。如果你分割这一网络的一小部分，并适当地将其按比例放大，得到的网络就跟最初的网络没什么两样。每一层级的网络都是相邻网络按比例缩放复制后的版本。当我们谈论循环系统的脉动特性中的阻抗匹配的结果时，我们看到了一个明确的例子，等面积分支导致连续血管半径按照的倍数缩小。因此，举例来说，如果我们将分为10个分支的血管的半径进行比较，它们都与（）10 =32的倍数相关。由于我们的主动脉半径约为1.5厘米，这意味着，第十个分支层的血管半径只有0.5毫米。
因为血流在沿着网络流动时会从脉动变为平缓，所以我们的循环系统实际上并不是持续性的自相似，也不是精确的分形。在平缓区域内，血液流动受到黏滞力的影响，将耗费的力量最小化，这就带来了自相似性，相连续的血管的半径按照
（=1.26…）这一常数因子不断缩小，而不是按照脉动区域的（=1.41…）这一常数因子缩小。因此，循环系统的分形特征在从动脉到毛细血管时发生了细微的改变，反映了血液在从脉动区域向平缓区域流动时的特征的变化。另外，树木从树干到树叶维持了近似相同的自相似性，其半径按照的等积率连续缩小。
空间填充要求网络必须服务于各个层级的生物体，这便要求血管的长度具有自相似性。为了填充三维空间，连续血管的长度必须按照这一常数因子缩小，与半径相比，这在整个网络中持续有效，包括脉动区域和平缓区域。
在确定了个体内部的网络如何根据这些简单法则按比例缩放后，最后要确定的便是如何在不同体重的物种之间建立联系。能量最小化原则所带来的进一步结果帮助我们完成了这个任务，即网络的体积（体内的血液总量）必须与身体体积成正比，因而与体重成正比。换句话说，血液体积与身体体积的比值是一个常数，无论体形是大是小。对一棵树来说，这很明显，因为其树枝网络构成了整棵树，网络的体积便是树的体积。［16］
现在，网络的体积便是其所有血管或分支的体积的总和，可以通过它们的长度和半径计算出来，由此我们便将内部网络的自相似性与体形大小联系在一起。这是长度的立方根规模法则和半径的平方根规模法则之间的数学关系，受到血液体积的线性缩放和终端单元恒定性的约束，由此产生了1/4次幂异速生长指数。
由此而来的神奇数字“4”便成为网络所构成的常规三维体积的有效延伸，另一个维度则来自网络的分形特征。我会在后文中更加详细地阐释分形维数的一般性概念，但现在我要说的是，自然选择利用分形网络的数学奇迹，优化了其能量分配，让生物体就像在四维空间而不是标准的三维空间内运转。从这个意义上说，普遍存在的数字4其实应该是3+1。一般来说，那个1是空间维度。如果像我那些信奉弦理论的朋友所说的那样，我们生活在11维度的宇宙中，神奇数字就应该是11+1=12，我们讨论的就应该是1/12次幂规模法则的普遍性，而非1/4次幂规模法则。
