｜贝尔定理｜
请注意，实际进行EPR思想实验其实并没有什么意义，因为其核心命题是光子在被探测前是否具有极化属性，实际进行实验只能让我们看到光子在被探测到时的极化属性，而不是在那之前的。
1964年，约翰·贝尔（1928—1990）开始思考是否存在某种方法来修改EPR情境，从而使我们在实际进行这个修改了的EPR实验时能得到一些有趣的结果。贝尔的成果通常被称为贝尔定理或贝尔不等式。正如这个名字所透露的，贝尔的成果实际上是一个数学验证。然而，如果我们把它当作一个实验设计，会更容易理解，因此接下来我将会把它作为一个实验设计来讨论。
贝尔本人和大卫·莫民、尼克·赫伯特一起为贝尔定理进行了很多很好的非数学阐述。接下来，我将使用可乐机的类比，尽管这个类比是我提出来的，但是其中的关键点都来自前述三位的解释中我认为最精彩的部分。在这里，请保持耐心，因为这可能需要几分钟的时间，但是当我们完成这些讨论时，你就相当于完成了一个非正式的贝尔定理演绎过程。
让我们首先从一个可乐机的类比开始。思考一下图26-2。在这个设置里，我们有两台大体相同的可乐机，分别称为机器A和机器B。我们同时还有一个按钮，每按一下按钮，每台机器就会吐出一罐碳酸饮料。让我们假设，事实上，每次我们按下按钮时，两台机器吐出的饮料要么是健怡可乐（我将用D来代表），要么是七喜，也就是人们通常所说的非可乐（我将用U来代表）。每台机器上面都有一个字母键盘，键盘上有三个按键，分别是L（代表左）、M（代表中间）和R（代表右）。
最后，假设两台可乐机之间没有明显的通信或联系。也就是说，我们在A和B之间找不到电缆、无线电连接或任何形式的联系。有了这些条件，我们将描述四个情境。
图26-2 可乐机类比
在情境1中，机器A上的字母旋钮设置在中间位置，同样地，机器B上的字母旋钮也设置在中间位置。假设我们按了上百次按钮，并发现每次我们按了按钮后，两台机器吐出的软饮都一样。也就是说，每次A吐出健怡可乐时，B吐出的同样也是健怡可乐；而每次A吐出七喜（非可乐）时，B同样吐出了七喜。除此之外，我们注意到，两台机器吐出的饮料是健怡可乐和七喜的随机组合。也就是说，尽管每次两台机器吐出的碳酸饮料都相同，但是在所有吐出的饮料中，有50%是健怡可乐，另外50%是七喜。
假设我们用A：M来表示机器A上的字母旋钮设置在中间位置，同样地，用B：M来表示机器B上的字母旋钮也设置在中间位置。假设我们用D和U来代表两种碳酸饮料，并记录每台机器每次吐出的饮料类型（举个例子，A：M DUDDUDUUUD表示当机器A上的字母旋钮设置在中间位置时按10下按钮所得到的结果）。接下来，我们可以把情境1总结如下。
情境1
A：M DUDDUDUUUDUDDUUDUDDUDUUUDUDD…
B：M DUDDUDUUUDUDDUUDUDDUDUUUDUDD…
总结：相同结果
在情境2中，我们将把机器A上的字母旋钮设置在左侧位置，但机器B上的字母旋钮则保持在中间位置。假设当我们把旋钮设置好，然后按了几下按钮后，我们注意到尽管两台机器通常都会吐出同样的碳酸饮料，不过偶尔也会出现两台机器不一致的情况。具体来说，我们会发现，当字母旋钮如此设置时，两台机器吐出饮料的结果中有25%的差异。总结如下。
情境2
A：L DDUDUUDUDDUUDUDUUDUDDDUDUUDU…
B：M DUUDUDDUDDUUDUUDUDUDUDUDDUUU…
总结：25%的差异
在情境3中，我们将把机器A上的字母旋钮调回中间位置，然后把机器B上的字母旋钮调到右侧位置。然后再按几下按钮，我们再次注意到，尽管吐出的饮料通常都是一致的，但其中还是有25%的差异。总结如下。
情境3
A：M UUDUDDUDUUDDDUDUUUDUDUUDDUDD…
B：R UDDUDUUDDUDUDUDDUUUUDUDDDUDD…
总结：25%的差异
在情境4中，我们将把机器A上的旋钮调到左侧位置（就像在情境2中），把机器B上的旋钮调到右侧位置（与情境3中相同）。先不说结果，情境4的设置如下。
情境4
A：L
B：R
总结：
现在，让我们思考一下当机器A和B上的旋钮如此设置时，我们能看到怎样的结果。具体来说，让我们做以下假设：
（1）两台机器之间没有任何通信或联系。
（2）定域性假设是正确的。
如果（1）和（2）是正确的，那么情境2中25%的差异应该只是机器A上字母旋钮位置变化所带来的结果。同样地，情境3中25%的差异一定只是机器B上字母旋钮位置变化的结果。也就是说，如果两台机器之间没有通信或联系，那么调节机器A上字母旋钮的位置只能影响机器A吐出饮料的结果，而调节机器B上字母旋钮的位置则只能影响机器B的结果。
因此，如果调节A上的旋钮会带来A吐出饮料结果中25%的差异，调节B上的旋钮会带来B吐出饮料结果中25%的差异，那么请回答下面这个关键问题：如果我们同时调节两个机器上的字母旋钮，就像在情境4中，那么两个机器之间吐出饮料结果中最大的差异会是多少？
在继续讨论之前，让我们先停下来，思考一下，然后回答这个问题。如果你看到答案，那么你所做的实际上就是对贝尔定理的一个非正式演绎。正确的答案是，基于（1）和（2），情境4中最大的差异是50%。也就是说，如果调节A上旋钮给A吐出饮料的结果所带来的差异是25%，但并不影响B的结果，而调节B上旋钮给B吐出饮料的结果所带来的差异是25%，但对A并没有影响，那么同时调节两个字母旋钮就可以带来合并了的差异，最大为50%。这个演绎，也就是对“在这样的情境中最大差异是50%”所进行的演绎，实际上就是贝尔定理。
当然，贝尔并不关心可乐机所吐出的饮料，而且，可乐机情境确实仅仅是一个类比。要看到这如何与量子理论产生关系，让我们把可乐机的类比与量子理论联系起来。
假设当我们按下按钮时，我们所得到的结果并不是可乐机吐出碳酸饮料，事实上，每次我们按下按钮，就发射了两粒孪生状态的光子，这与图26-1中所示的EPR情境完全一致。这里我们没有可乐机，而是极化探测器A和B，同样也如图26-1所示。然而，与图26-1所示的基本EPR情境不同，这些探测器上有可乐机上的那种字母旋钮，可以设置到L、M和R位置。这个修改了的EPR情境将如图26-3所示。
极化探测器实际上可以有与L、M和R等价的设置，如图26-3所示。现在假设我们要进行几个完全可以和可乐机情境相对应的实验。假设我们把两个极化探测器都设置到中间位置，然后反复按下按钮，每次都发射出一对孪生光子，分别向各自的探测器运动。回忆一下，对孪生光子来说，只要探测器是相同的，两粒光子就会被探测为都是上极化或都是下极化。具体到这个情境中，只要探测器设置为同样的状态，两粒光子就会被探测为具有相同的极化。因此在这个情境中，两个探测器都设置到了中间位置，假设我们分别用D和U来代表下极化和上极化，那么这个实验的结果将与前面所总结的情境1的结果完全相同。也就是说，两个探测器的探测结果将会完全相同。
图26-3 修改了的EPR情境
请注意，这只是个量子事实，也就是说是一个量子实验的结果：把两个探测器都设置到中间位置，向它们发射出一对孪生光子，结果是探测器探测到的每一对光子都将是同为上极化或同为下极化。除此之外，这个结果也恰恰是量子理论所预言的。
现在把极化探测器按照前面的情境2进行设置。两个探测器上的旋钮不再是设置到相同位置，所以我们将不会看到每对光子的探测结果都相同。但是就实验事实而言，这个情境的实验结果与前面所总结的情境2的结果完全相同。同样地，这只是一个量子事实，而且同样刚好是量子理论所预言的。
与此类似，把极化探测器按照前面的情境3进行设置，结果同样会与情境3的结果完全相同。重申一下，这只是一个量子事实，而且是量子理论所预言的。
到目前为止，一切都很好，没有什么不同寻常之处。然而，现在，按照情境4来设置两个探测器，也就是探测器A的旋钮设置在左侧位置，而探测器B的旋钮设置在右侧位置，然后思考一下我们将会看到怎样的结果。依然用描述可乐机时的方法，上述情境可总结如下。
情境1
A：M DUDDUDUUUDUDDUUDUDDUDUUUDUDD…
B：M DUDDUDUUUDUDDUUDUDDUDUUUDUDD…
总结：相同结果
情境2
A：L DDUDUUDUDDUUDUDUUDUDDDUDUUDU…
B：M DUUDUDDUDDUUDUUDUDUDUDUDDUUU…
总结：25%的差异
情境3
A：M UUDUDDUDUUDDDUDUUUDUDUUDDUDD…
B：R UDDUDUUDDUDUDUDDUUUUDUDDDUDD…
总结：25%的差异
情境4
A：L
B：R
总结：
所以，我们面对与可乐机类比中同样的问题：如果定域性假设是正确的，而且两个极化探测器之间不存在任何通信或联系，那么两个探测器探测结果之间的最大差异会是多少？重申一下，答案是（实际上就是贝尔定理）两个探测器探测结果之间的最大差异可以达到50%。
精彩之处来了：量子理论的预言并不是50%。事实上，如果探测器是像情境4中那样设置，量子理论预言两个探测器探测结果之间的差异应该达到将近75%。
换句话说，贝尔发现基于量子理论的预言与基于定域性假设的预言不一致。也就是说，用可乐机进行的简单演绎表明，如果定域性假设是正确的，那么当极化探测器按照情境4进行设置时，两个探测器探测结果之间的差异最多是50%。但是量子理论的预言是这个差异预计可达将近75%。
简言之，贝尔表明量子理论和定域性假设彼此不能保持一致。两者不能同时正确。
