｜时空、不变量以及研究相对论的几何学方法｜
在爱因斯坦发表狭义相对论后不久，他早年的一位数学老师，赫尔曼·闵可夫斯基（1864-1909）发现了所谓的时空间隔是狭义相对论的一个不变量属性。理解时空间隔将使我们在一定程度上了解与相对论有关的一个核心概念，也就是时空的概念，也会让我们理解变量和不变量性质。同时，这也可以让我们简要了解另一种常见的研究相对论的方法，也就是几何学方法。
有时，人们会听到这样的说法：根据爱因斯坦的相对论，“任何事都是相对的”，或者其他含义相似的表述。我们在前面已经看到了，从静止和运动两个观察点来看，长度、时间和同时性确实都会有所不同，因此这些属性是相对于观察点的。但是如果认为所有属性都是相对的，那就大错特错了。
我们已经看到了有一个属性不是相对的，那就是光速。根据光速恒定原则，不管从哪个观察点来看，光线（在真空中）运动速度的测量值总是相同的。那么，根据相对论，光速就不是相对的。不管从哪个观察点看，始终保持不变，比如相对论中的光速，这种属性就被认为是不变量属性。
请注意，不同的理论常常对不同属性是变量还是不变量有不同的结论。举个例子，长度、时间（也就是两个事件相隔多长时间）和同时性（也就是两个事件是否同时发生）在牛顿世界观中被认为是不变量，但是正如我们在本章前面所看到的，根据相对论，这些属性并不是不变量。另一方面，根据相对论，光速是不变量，然而，牛顿体系却不认为光速是不变量。（回忆一下，前一章里我们讨论过用来测量不同光速的迈克尔逊-莫雷实验。正如在那里提到的，根据牛顿世界观对光运动模式的通常观点，对这个实验结果的预言是，在不同环境下，光速会有所不同。换句话说，在牛顿世界观中，光速被认为是一种变量属性。）
尽管根据相对论，随着观察点的变化，时间的流逝和两个地点之间的距离会发生变化，但闵可夫斯基发现与空间和时间的组合体相关的某个属性并不随观察点的变化而变化。也就是说，根据相对论，闵可夫斯基所引入的这个属性，即被称为“时空间隔”的概念，是不变量。要理解时空间隔，我们需要首先理解时空的概念。尽管“时空”和“时空连续统”听起来非常神秘，但它们的基本概念其实相当直接明了。
要理解时空的概念，让我们首先思考一个典型的二维笛卡尔坐标系，如图23-4所示。我们通常（即使并不总是）也都认为横轴和纵轴代表在空间中的位置。举个例子，假设我们把（0，0）点当作一个足球场的中心点。如果我们以米为单位，那么点（8，11）可能代表的点就是在一个方向上，比如在球场的一条边线方向上，与球场中心相距8米，而在另一个方向上，比如在球场上某个球门的方向上，与球场中心相距11米。
图23-4 一个典型的笛卡尔坐标系
接下来，假设我们认为横轴代表空间中的位置。具体来说，假设这根轴线代表的是足球场边线方向上的距离。但是，接下来我们并不把纵轴当作另一个空间维度，而是认为纵轴代表时间。假设有个人在我们的球场中心点，并在时刻0时开始向边线前进，速度为2米/秒。那么诸如（0，0）（2，1）（4，2）（6、3）此类的点将代表这个人以1秒为间隔在空间和时间中的位置。也就是说，（0，0）代表的是这个人在时刻0时位于点0，（2，1）代表的是这个人在时刻1时位于点2，在时刻2时位于点4，以此类推。
实际上，这就是时空的概念了。这个概念只是一种把一个点在空间和时间中位置同时呈现出来的方式。像我们刚刚在前面所描述的，其中除了时间，只有一个空间维度，这就是一个二维时空。如果除了时间，还包括所有三个空间维度，那就将是一个四维时空，在这个时空中的任意一点都可以用一个四元组来表示（x，y，z，t），其中x，y和z表示通常的三个空间维度，t表示时间。
现在既然我们对时空概念有了初步认识，让我们开始对时空间隔概念的讨论。再次思考一下图23-1中萨拉和乔伊的情境。我们很容易就可以想象出一个与乔伊的角度相关联的时空坐标系。假设我们把乔伊第一块时钟的中心作为这个坐标系空间维度的起始点，把乔伊第一块时钟读数为“0.00”的时刻作为时刻0。那么，我们就可以说乔伊第一块时钟读数为0.00的这件事发生在时空坐标（0，0，0，0）处。假设我们把x轴设为运动的方向，并把坐标系的空间单位设置为千米。就像我们一直以来的做法一样，我们假设（从乔伊的角度来看）乔伊的两块时钟是同步的，那么我们就可以说乔伊第二块时钟读数为0.00的这件事发生在时空坐标（1000，0，0，0）处。
现在，让我们思考一下这两个事件之间的时空间隔，也就是乔伊第一块时钟读数为0.00的事件和乔伊第二块时钟读数为0.00的事件之间的时空间隔。我们可以看到x轴上的空间间隔是1000，y轴和z轴上的空间间隔是0，时间间隔是0。如果我们用Δx、Δy和Δz分别代表两个事件在x、y和z轴上的空间间隔，用Δt代表两个事件之间的时间间隔，那么两个事件之间的时空间隔s可以用下面这个方程式来表示：
因此，在这个例子里，两个事件之间的时空间隔就是。（顺带提一下，在这个例子里，结果将会是一个虚数，也就是一个与-1的平方根有关的数字。虚数并不像自然数或有理数那么广为人知，但是虚数仍然是数学中一种很容易理解而且被广泛应用的数字。）
从某个意义上说，时空间隔是事件之间的某种距离。不是两个事件在空间上相隔的距离，也不是在时间上的间隔，而是运用一种同时涉及空间和时间的测量方法后得出的两个事件间的间隔。
我们在前面提到过，根据相对论，时空间隔是一个不变量属性。要说明这一点，让我们把萨拉重新考虑进来。在前面的例子里我们看到，可以设想出一个与乔伊的角度相关联的时空坐标系。当然，我们同样也可以设想一个与萨拉的角度相关联的时空坐标系。为了便于讨论（不是必须这么做，但是这将简化我们的讨论），我们将假设萨拉时空坐标系的起始点与乔伊时空坐标系的起始点相同。请注意，从乔伊的角度来看，与萨拉相关联的坐标系是一个移动坐标系。由于这个坐标系在运动，根据我们在本章前面的讨论，可以知道时间、长度和同时性都会受到影响。
举个例子，我们刚刚在乔伊的坐标系里看到了，乔伊第一块时钟读数为0.00的事件与他第二块时钟读数为0.00的事件分别发生在坐标点（0，0，0，0）和（1000，0，0，0）处。然而，在萨拉的坐标系中，这两个事件发生时的距离并不是1000千米，也不是同步发生的。总的来说，同样的事件在萨拉坐标系中的时空坐标会与其在乔伊坐标系中的时空坐标有所不同。
然而，有一系列直接明了的方程式，被称为“洛伦兹变换”，可以让我们把一个静止时空坐标系中的坐标转换成运动的时空坐标系中的坐标。（在本章正文中，我没有给出这些方程式，但如果你感兴趣，可以在本书结尾的章节注释中找到这些方程式。同时，这里与我们在本章中一直假设的一样，我们认为坐标系相对于彼此进行匀速直线运动。）使用洛伦兹变换方程式把乔伊坐标系中的坐标点（0，0，0，0）和（1000，0，0，0）转换成萨拉坐标系中的相应坐标点，就分别得到了（0，0，0，0）和（1250，0，0，-0.0025）。
如果我们用上面的方程式计算这两个事件在萨拉坐标系中的时空间隔s，我们将会看到结果与在乔伊坐标系中计算得出的结果相同。一般来说，任意事件之间的时空间隔在相对于彼此进行匀速直线运动的不同坐标系中都是相同的。所以，尽管相同事件在不同坐标系中的空间间隔和时间间隔会发生变化，但它们的时空间隔不会发生变化。重申一下，这也就是说，时空间隔在相对论中是一个不变量属性。
在这一节，我们对时空的概念有了一些了解，探讨了一个与时空相关联且更具重要意义的不变量属性，也就是时空间隔。作为这一节的最后一点，值得一提的是，这种“几何学”方法，也就是认为所有的点都是在相对于彼此进行运动的四维时空坐标系中的点，并使用洛伦兹变换将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中，是研究相对论的一个常用方法。这种几何学方法为解释与相对论相关的命题提供了一种便利的做法，可以满足多种不同目的的需求。当然，通过这种几何学方法，你同样也会发现我们在本章前面讨论过的那些相对论的效果，也就是时间膨胀、空间压缩以及同时性的相对性。
｜结语｜
在本章中，我们探讨了爱因斯坦的狭义相对论，并且看到了，对于我们通常认为是常识的有关空间、时间和同时性的观点，这个理论具有非同小可的意义。有了爱因斯坦狭义相对论，我们可以看到某些我们长期所秉持的观点，尽管大多数人都认为它们是显而易见的经验事实，但实际上是错误的。因此，相对论让我们不得不重新审视这些我们长期以来所秉持的观点。在下一章中，我们将简要探讨广义相对论，注意它对我们的常识性观点同样产生了非常有意思的影响，这一点在我们对重力的认识上尤为明显。
